Cas d'une suite croissante tendant vers une limite finie

Le cas d'une suite ayant une limite finie est similaire : si une suite tend vers \(l\) , alors pour tout  \(\varepsilon > 0\) , l'intervalle  \([l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]\) contiendra tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
En particulier, si la suite est monotone, il est pratique de déterminer le rang à partir duquel cette condition est vérifiée.
Par exemple, soit \((k_n)\) la suite numérique définie par \(k_0=1\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) , par \(k_{n+1}=0,5k_n+2\) .
On admet que  \((k_n)\) est une suite croissante qui tend vers 4. (Le démontrer est un bon exercice !)
Ainsi, pour tout réel  \(a<4\) , il existe un rang  \(N\) tel que, tout  \(n \geqslant N\) , on a   \(k_n \geqslant a\) .

La fonction suivante prend en entrée un réel a et renvoie le premier rang N de la suite \((k_n)\) à  partir duquel, pour tout  \(n \geqslant N\) , on a  \(k_n \geqslant a\) .
def seuil_k(a) :
    k = 1
    n = 0
    while k < a :
        k = 0.5 * k + 2
        n = n + 1
    return n

En particulier, l'appel de la fonction seuil_k(3.999) renvoie le premier rang à partir duquel les termes de la suite  \((k_n)\) sont au-dessus de 3,999.

Attention !
L'appel de la fonction précédente utilisant une entrée supérieure ou égale à 4 provoquera une boucle infinie. En effet, si l'on demande par exemple seuil_k(5), le programme continuera de faire des calculs tant que les termes de la suite n'atteigneront pas la valeur 5... Ce qui est toujours le cas !
Il est donc indispensable d'avoir des informations sur la suite avant de se lancer dans ce genre d'algorithme !

Exercice

Soit \((p_n)\) la suite numérique définie par \(p_0=0,7\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) , par \(p_{n+1}=0,8p_n+16\) . On admet que  \((p_n)\) est une suite croissante qui tend vers 80.

1. Écrire une fonction seuil_p prenant un réel a en paramètre et renvoyant le rang n à partir duquel  \(p_n \geqslant a\) .

2. Appeler la fonction pour a égal à 79,9999 et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.